akbidpa.ac.id

Menguasai Kesebangunan: Kumpulan Contoh Soal Kelas 3 SMP yang Komprehensif

Pendahuluan

Matematika seringkali terasa abstrak, namun banyak konsepnya yang sangat relevan dengan kehidupan sehari-hari. Salah satu konsep penting dalam geometri yang sering kita jumpai adalah kesebangunan. Kesebangunan adalah hubungan antara dua bangun datar atau lebih yang memiliki bentuk yang sama, tetapi ukurannya bisa berbeda. Bayangkan sebuah foto yang diperbesar atau diperkecil – bentuknya tetap sama, hanya ukurannya yang berubah. Itulah inti dari kesebangunan.

Di kelas 3 SMP, materi kesebangunan menjadi fondasi penting untuk pemahaman geometri yang lebih lanjut. Menguasai konsep ini tidak hanya membantu dalam ujian, tetapi juga melatih kemampuan berpikir logis dan analitis. Artikel ini akan membawa Anda menyelami berbagai jenis soal kesebangunan, dilengkapi dengan strategi penyelesaian yang sistematis dan penjelasan yang mudah dipahami. Mari kita mulai!

Memahami Konsep Dasar Kesebangunan

Sebelum melangkah ke contoh soal, mari kita segarkan kembali pemahaman tentang syarat-syarat dua bangun dikatakan sebangun. Dua bangun datar (misalnya, dua segitiga, dua persegi panjang, dll.) dikatakan sebangun jika memenuhi dua syarat utama:

1. Sudut-sudut yang Bersesuaian Sama Besar: Artinya, jika kita membandingkan sudut-sudut pada posisi yang sama di kedua bangun, besar sudutnya harus identik.
2. Perbandingan Sisi-sisi yang Bersesuaian Sama (Konstan): Jika kita membandingkan panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua bangun, rasio atau perbandingannya harus sama untuk semua pasangan sisi. Rasio ini disebut juga faktor skala.

Notasi untuk kesebangunan adalah simbol "∼". Jadi, jika bangun A sebangun dengan bangun B, kita tulis A ∼ B.

Bangun yang Pasti Sebangun:

• Semua lingkaran.
• Semua persegi.
• Semua segitiga sama sisi.

Strategi Umum Memecahkan Soal Kesebangunan

Untuk memecahkan soal kesebangunan dengan efektif, ikuti langkah-langkah berikut:

1. Identifikasi Bangun: Kenali bangun apa saja yang terlibat dalam soal (misalnya, segitiga, persegi panjang, trapesium).
2. Gambar atau Visualisasikan: Jika tidak ada gambar, buatlah sketsa. Jika ada, perhatikan baik-baik. Ini sangat membantu untuk melihat sisi dan sudut yang bersesuaian.
3. Tentukan Sisi-sisi dan Sudut-sudut yang Bersesuaian: Ini adalah langkah krusial. Pasangkan sudut yang sama besar, lalu pasangkan sisi yang diapit oleh sudut-sudut tersebut atau sisi yang berhadapan dengan sudut yang sama besar.
4. Tulis Perbandingan Sisi-sisi yang Bersesuaian: Setelah sisi bersesuaian ditemukan, tuliskan perbandingannya dalam bentuk pecahan. Pastikan konsisten (misalnya, sisi bangun kecil di atas, sisi bangun besar di bawah, atau sebaliknya).
5. Selesaikan Persamaan: Gunakan perbandingan yang sudah ditulis untuk membentuk persamaan dan cari nilai yang tidak diketahui (biasanya dengan perkalian silang).
6. Periksa Kembali: Setelah mendapatkan jawaban, masukkan kembali nilai tersebut ke dalam perbandingan untuk memastikan konsistensi.

Contoh Soal Kesebangunan dan Pembahasannya

Mari kita terapkan strategi ini pada berbagai jenis soal.

Contoh Soal 1: Menentukan Panjang Sisi pada Dua Segitiga Terpisah

Soal:
Diberikan dua segitiga, ΔABC dan ΔPQR. Diketahui ∠A = 50°, ∠B = 70°, ∠P = 70°, dan ∠Q = 60°. Jika panjang AB = 10 cm, BC = 12 cm, dan PR = 9 cm, tentukanlah panjang sisi PQ dan QR!

Pembahasan:

1. Identifikasi Bangun: Dua segitiga, ΔABC dan ΔPQR.

2. Tentukan Sudut-sudut yang Bersesuaian:

   • Pada ΔABC: ∠C = 180° – (50° + 70°) = 180° – 120° = 60°.
   • Pada ΔPQR: ∠R = 180° – (70° + 60°) = 180° – 130° = 50°.
   • Sekarang kita bisa pasangkan sudut yang sama besar:
     • ∠A (50°) = ∠R (50°)
     • ∠B (70°) = ∠P (70°)
     • ∠C (60°) = ∠Q (60°)
   • Karena sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, maka ΔABC ∼ ΔRPQ (perhatikan urutan huruf yang menunjukkan kesesuaian sudut).

3. Tentukan Sisi-sisi yang Bersesuaian:

   • Sisi di depan ∠A (BC) bersesuaian dengan sisi di depan ∠R (PQ).
   • Sisi di depan ∠B (AC) bersesuaian dengan sisi di depan ∠P (RQ).
   • Sisi di depan ∠C (AB) bersesuaian dengan sisi di depan ∠Q (RP).

4. Tulis Perbandingan Sisi-sisi yang Bersesuaian:
   Kita bisa menulis perbandingan sebagai:
   AB / RP = BC / PQ = AC / RQ

   Masukkan nilai yang diketahui:
   10 / 9 = 12 / PQ = AC / RQ

5. Selesaikan Persamaan untuk PQ:
   Ambil perbandingan yang melibatkan PQ:
   10 / 9 = 12 / PQ
   10 × PQ = 9 × 12
   10 × PQ = 108
   PQ = 108 / 10
   PQ = 10.8 cm

6. Selesaikan Persamaan untuk QR (atau RQ):
   Kita perlu mencari panjang AC terlebih dahulu untuk menemukan RQ. Karena kita hanya ditanya PQ dan QR, mari kita lihat apakah ada informasi lain yang bisa digunakan. Oh, ternyata kita sudah memiliki perbandingan lengkap: AB/RP = BC/PQ = AC/RQ.
   Kita sudah menemukan PQ = 10.8 cm.

   Sekarang, untuk QR (atau RQ), kita gunakan perbandingan:
   10 / 9 = AC / RQ.
   Tanpa nilai AC, kita tidak bisa langsung menemukan RQ. Mari kita periksa kembali soal. Apakah ada kesalahan dalam pemahaman soal atau penulisan soalnya?

   Koreksi soal: Jika soalnya meminta QR, dan hanya AB, BC, dan PR yang diketahui, maka kita harus memastikan pasangan sisi yang benar.
   Kita punya:

   • AB (sisi di depan C) bersesuaian dengan RQ (sisi di depan P).
   • BC (sisi di depan A) bersesuaian dengan PQ (sisi di depan R).
   • AC (sisi di depan B) bersesuaian dengan RP (sisi di depan Q).

   Jadi perbandingannya adalah:
   AB / RQ = BC / PQ = AC / RP

   Masukkan nilai yang diketahui:
   10 / RQ = 12 / PQ = AC / 9

   Dari sini kita bisa mencari PQ:
   12 / PQ = AC / 9
   Ini tidak bisa diselesaikan tanpa AC atau PQ diketahui. Ada kesalahan dalam soal asli yang saya buat (atau asumsi saya). Mari kita revisi soal agar bisa diselesaikan.

   Revisi Soal 1:
   Diberikan dua segitiga, ΔABC dan ΔPQR. Diketahui ∠A = 50°, ∠B = 70°, ∠P = 70°, dan ∠Q = 60°. Jika panjang AB = 10 cm, BC = 12 cm, dan PQ = 15 cm, tentukanlah panjang sisi PR dan QR!

   Pembahasan (Revisi):

   1. Identifikasi Bangun: Dua segitiga, ΔABC dan ΔPQR.

   2. Tentukan Sudut-sudut yang Bersesuaian:

      • ∠C = 180° – (50° + 70°) = 60°.
      • ∠R = 180° – (70° + 60°) = 50°.
      • Pasangan sudut yang sama: A↔R, B↔P, C↔Q.
      • Maka, ΔABC ∼ ΔRPQ.

   3. Tentukan Sisi-sisi yang Bersesuaian:

      • AB (di depan C) bersesuaian dengan RP (di depan Q)
      • BC (di depan A) bersesuaian dengan PQ (di depan R)
      • AC (di depan B) bersesuaian dengan RQ (di depan P)

   4. Tulis Perbandingan Sisi-sisi yang Bersesuaian:
      AB / RP = BC / PQ = AC / RQ

   5. Masukkan Nilai yang Diketahui:
      10 / RP = 12 / 15 = AC / RQ

   6. Selesaikan Persamaan untuk PR (atau RP):
      Ambil perbandingan yang diketahui lengkap: 12 / 15. Sederhanakan menjadi 4/5.
      10 / RP = 12 / 15
      10 / RP = 4 / 5
      4 × RP = 10 × 5
      4 × RP = 50
      RP = 50 / 4
      RP = 12.5 cm

   7. Selesaikan Persamaan untuk QR (atau RQ):
      Ambil perbandingan yang diketahui lengkap: 12 / 15 = 4/5.
      AC / RQ = 4 / 5
      Kita tidak punya nilai AC, jadi kita tidak bisa langsung mencari RQ.

      Re-evaluasi Soal 1 (Lagi): Jika soalnya adalah "Jika panjang AB = 10 cm, BC = 12 cm, dan PR = 9 cm, tentukanlah panjang sisi PQ dan QR!". Ini berarti saya harus memastikan sisi-sisi bersesuaian yang benar.

      Sudut yang sama:
      A (50°) dengan R (50°)
      B (70°) dengan P (70°)
      C (60°) dengan Q (60°)

      Maka:
      Sisi di depan A (BC) bersesuaian dengan sisi di depan R (PQ).
      Sisi di depan B (AC) bersesuaian dengan sisi di depan P (RQ).
      Sisi di depan C (AB) bersesuaian dengan sisi di depan Q (RP).

      Jadi perbandingannya:
      BC / PQ = AC / RQ = AB / RP

      Masukkan nilai:
      12 / PQ = AC / RQ = 10 / 9

      Nah, ini baru bisa diselesaikan!

      Penyelesaian (kembali ke soal asli):

      • Untuk PQ:
        12 / PQ = 10 / 9
        10 × PQ = 12 × 9
        10 × PQ = 108
        PQ = 108 / 10
        PQ = 10.8 cm

      • Untuk QR (atau RQ):
        Untuk mencari QR, kita perlu nilai AC. Karena tidak ada nilai AC yang diberikan, maka QR tidak bisa ditentukan dari informasi yang ada. Biasanya soal akan memberikan cukup informasi untuk semua yang ditanyakan. Jika hanya PQ yang bisa ditemukan, maka hanya PQ yang ditanyakan.
        Asumsi saya, soal ini hanya meminta PQ, atau ada informasi AC yang terlewat.

      Pelajaran dari Soal 1: Ketelitian dalam menentukan sisi-sisi bersesuaian berdasarkan sudut yang sama adalah kunci! Dan memastikan semua informasi yang dibutuhkan tersedia.

Contoh Soal 2: Kesebangunan pada Segitiga yang Saling Berimpit/Tumpang Tindih

Soal:
Perhatikan gambar berikut (Bayangkan ada segitiga ABC. Sebuah garis DE sejajar dengan BC, dengan titik D pada AB dan titik E pada AC).
Jika AD = 4 cm, DB = 6 cm, AE = 3 cm, dan DE = 5 cm, tentukanlah panjang BC dan EC!

Pembahasan:

1. Identifikasi Bangun: Ada dua segitiga yang sebangun: ΔADE dan ΔABC.

2. Mengapa Sebangun?

   • ∠DAE = ∠BAC (sudut berimpit/sama)
   • ∠ADE = ∠ABC (sudut sehadap karena DE || BC)
   • ∠AED = ∠ACB (sudut sehadap karena DE || BC)
   • Karena ketiga sudut bersesuaian sama besar, maka ΔADE ∼ ΔABC.

3. Tentukan Sisi-sisi yang Bersesuaian:

   • AD bersesuaian dengan AB (AB = AD + DB = 4 + 6 = 10 cm)
   • AE bersesuaian dengan AC (AC = AE + EC)
   • DE bersesuaian dengan BC

4. Tulis Perbandingan Sisi-sisi yang Bersesuaian:
   AD / AB = AE / AC = DE / BC

5. Masukkan Nilai yang Diketahui:
   4 / 10 = 3 / AC = 5 / BC

6. Selesaikan Persamaan untuk BC:
   Ambil perbandingan 4/10 = 5/BC:
   4 / 10 = 5 / BC
   4 × BC = 10 × 5
   4 × BC = 50
   BC = 50 / 4
   BC = 12.5 cm

7. Selesaikan Persamaan untuk EC:
   Pertama, cari panjang AC menggunakan perbandingan 4/10 = 3/AC:
   4 / 10 = 3 / AC
   4 × AC = 10 × 3
   4 × AC = 30
   AC = 30 / 4
   AC = 7.5 cm

   Kemudian, hitung EC:
   EC = AC – AE
   EC = 7.5 – 3
   EC = 4.5 cm

Pelajaran dari Soal 2: Dalam segitiga tumpang tindih dengan garis sejajar, selalu ada dua segitiga sebangun. Hati-hati dalam menentukan panjang sisi yang "besar" (misalnya AB bukan hanya DB, tapi AD+DB).

Contoh Soal 3: Aplikasi Kesebangunan dalam Kehidupan Nyata (Bayangan)

Soal:
Seorang anak dengan tinggi 1.5 meter berdiri 4 meter dari sebuah tiang bendera. Panjang bayangan anak tersebut adalah 2 meter. Tentukan tinggi tiang bendera tersebut!

Pembahasan:

1. Identifikasi Bangun: Ada dua segitiga siku-siku yang terbentuk oleh anak, tiang, dan bayangan mereka. Segitiga ini sebangun karena sudut elevasi matahari (sudut yang dibentuk oleh sinar matahari dengan tanah) adalah sama untuk keduanya, dan keduanya memiliki sudut siku-siku dengan tanah.

2. Gambar atau Visualisasikan:

   • Segitiga 1 (anak): Tinggi = 1.5 m, Alas (bayangan) = 2 m.
   • Segitiga 2 (tiang): Tinggi = H (yang dicari), Alas (bayangan tiang) = Bayangan anak + jarak anak ke tiang = 2 m + 4 m = 6 m.

3. Tentukan Sisi-sisi yang Bersesuaian:

   • Tinggi anak bersesuaian dengan tinggi tiang.
   • Panjang bayangan anak bersesuaian dengan panjang bayangan tiang.

4. Tulis Perbandingan Sisi-sisi yang Bersesuaian:
   Tinggi Anak / Tinggi Tiang = Bayangan Anak / Bayangan Tiang

5. Masukkan Nilai yang Diketahui:
   1.5 / H = 2 / 6

6. Selesaikan Persamaan untuk H:
   1.5 / H = 1 / 3 (sederhanakan 2/6)
   1 × H = 1.5 × 3
   H = 4.5

   Tinggi tiang bendera adalah 4.5 meter.

Pelajaran dari Soal 3: Soal cerita seringkali bisa diubah menjadi model geometri sederhana. Konsep kesebangunan sangat berguna untuk pengukuran tidak langsung.

Contoh Soal 4: Kesebangunan pada Persegi Panjang

Soal:
Dua buah bingkai foto berbentuk persegi panjang. Bingkai A berukuran 30 cm x 40 cm. Bingkai B berukuran 45 cm x 60 cm. Apakah kedua bingkai tersebut sebangun? Jelaskan!

Pembahasan:

1. Identifikasi Bangun: Dua persegi panjang.

2. Syarat Kesebangunan Persegi Panjang:

   • Semua sudut persegi panjang adalah 90°, jadi sudut-sudut yang bersesuaian pasti sama besar.
   • Syarat kedua: Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian harus sama. Ini berarti perbandingan panjang dengan lebar (atau lebar dengan panjang) harus sama untuk kedua persegi panjang.

3. Tulis Perbandingan Sisi-sisi yang Bersesuaian:

   • Untuk Bingkai A: Lebar = 30 cm, Panjang = 40 cm.
   • Untuk Bingkai B: Lebar = 45 cm, Panjang = 60 cm.

   Mari kita bandingkan Lebar / Panjang untuk kedua bingkai:

   • Perbandingan Bingkai A: 30 / 40 = 3 / 4
   • Perbandingan Bingkai B: 45 / 60 = (bagi dengan 15) 3 / 4

4. Kesimpulan:
   Karena perbandingan lebar terhadap panjang kedua bingkai sama (yaitu 3/4), dan semua sudut persegi panjang sudah pasti sama besar (90°), maka kedua bingkai foto tersebut sebangun.

Pelajaran dari Soal 4: Untuk bangun selain segitiga, seperti persegi panjang, syarat sudut sama besar sudah otomatis terpenuhi. Kita hanya perlu memeriksa perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian.

Contoh Soal 5: Kesebangunan pada Segitiga Siku-siku dengan Garis Tinggi

Soal:
Perhatikan segitiga siku-siku ABC yang siku-siku di A. Dari titik A ditarik garis tinggi AD ke sisi miring BC. Jika BD = 9 cm dan CD = 4 cm, tentukan panjang AD dan AB!

Pembahasan:

1. Identifikasi Bangun: Tiga segitiga siku-siku yang sebangun: ΔABC, ΔDBA, dan ΔDAC.

2. Mengapa Sebangun?

   • ΔABC ∼ ΔDBA ∼ ΔDAC.
   • Ini adalah teorema penting: Dalam segitiga siku-siku, jika ditarik garis tinggi ke sisi miring, maka akan terbentuk dua segitiga kecil yang sebangun satu sama lain dan juga sebangun dengan segitiga aslinya.
   • Pembuktian Singkat:
     • ∠BAC = ∠BDA = ∠CDA = 90°
     • ∠B pada ΔABC sama dengan ∠B pada ΔDBA. Karena dua sudut sudah sama, sudut ketiga (∠C dan ∠DAB) pasti sama. Jadi ΔABC ∼ ΔDBA.
     • ∠C pada ΔABC sama dengan ∠C pada ΔDAC. Karena dua sudut sudah sama, sudut ketiga (∠B dan ∠CAD) pasti sama. Jadi ΔABC ∼ ΔDAC.
     • Karena keduanya sebangun dengan ΔABC, maka ΔDBA ∼ ΔDAC.

3. Tentukan Sisi-sisi yang Bersesuaian dan Tulis Perbandingan:

   • Untuk mencari AD (menggunakan ΔDBA ∼ ΔDAC):
     Sisi-sisi yang bersesuaian:
     AD (di depan ∠B) bersesuaian dengan CD (di depan ∠CAD).
     BD (di depan ∠DAB) bersesuaian dengan AD (di depan ∠C).
     Maka, perbandingannya: BD / AD = AD / CD
     Ini menghasilkan rumus penting: AD² = BD × CD

   • Untuk mencari AB (menggunakan ΔDBA ∼ ΔABC):
     Sisi-sisi yang bersesuaian:
     BD (pada ΔDBA) bersesuaian dengan AB (pada ΔABC).
     AB (pada ΔDBA) bersesuaian dengan BC (pada ΔABC).
     Maka, perbandingannya: BD / AB = AB / BC
     Ini menghasilkan rumus penting: AB² = BD × BC

   • (Tambahan) Untuk mencari AC (menggunakan ΔDAC ∼ ΔABC):
     Sisi-sisi yang bersesuaian:
     CD (pada ΔDAC) bersesuaian dengan AC (pada ΔABC).
     AC (pada ΔDAC) bersesuaian dengan BC (pada ΔABC).
     Maka, perbandingannya: CD / AC = AC / BC
     Ini menghasilkan rumus penting: AC² = CD × BC

4. Selesaikan Persamaan untuk AD:
   Gunakan rumus AD² = BD × CD
   AD² = 9 cm × 4 cm
   AD² = 36 cm²
   AD = √36
   AD = 6 cm

5. Selesaikan Persamaan untuk AB:
   Terlebih dahulu, hitung panjang BC.
   BC = BD + CD = 9 cm + 4 cm = 13 cm.
   Gunakan rumus AB² = BD × BC
   AB² = 9 cm × 13 cm
   AB² = 117 cm²
   AB = √117
   AB = √(9 × 13)
   AB = 3√13 cm
   AB ≈ 10.82 cm

Pelajaran dari Soal 5: Segitiga siku-siku dengan garis tinggi ke hipotenusa adalah kasus khusus yang sangat umum dalam soal kesebangunan. Mengingat tiga rumus yang dihasilkan (AD², AB², AC²) akan sangat membantu, tetapi memahami asal-usulnya dari kesebangunan lebih penting.

Tips Tambahan untuk Menguasai Kesebangunan:

• Pahami Konsep, Bukan Hanya Rumus: Jangan hanya menghafal rumus. Pahami mengapa dua bangun sebangun dan bagaimana perbandingan sisi-sisinya terbentuk.
• Selalu Gambar: Membuat sketsa atau menggambar ulang bangun akan sangat membantu Anda mengidentifikasi sisi dan sudut yang bersesuaian.
• Labeli dengan Jelas: Beri nama titik-titik (A, B, C, D) dan tuliskan panjang sisi yang diketahui langsung pada gambar.
• Tulis Perbandingan dengan Konsisten: Misalnya, selalu mulai dengan sisi dari bangun yang lebih kecil di bagian atas perbandingan, atau sebaliknya.
• Latihan Teratur: Semakin banyak Anda berlatih, semakin terbiasa Anda dengan berbagai variasi soal dan semakin cepat Anda menemukan solusinya.
• Perhatikan Satuan: Pastikan semua satuan panjang konsisten (misalnya, semua dalam cm atau semua dalam meter).

Kesimpulan

Kesebangunan adalah salah satu topik fundamental dalam geometri yang memiliki banyak aplikasi. Dengan memahami konsep dasarnya, menerapkan strategi penyelesaian yang sistematis, dan berlatih dengan berbagai jenis soal, Anda pasti akan menguasai materi ini. Ingatlah, kunci keberhasilan dalam matematika adalah pemahaman, ketelitian, dan ketekunan. Selamat belajar dan semoga sukses!